1、设子空间上的一组基为{e1,e2,,er}任取一组整个空间上的基{f1,f2,,fn}把fi依次一个一个地放入子空间的基，比如{e1,e2,,er,f1},如果这组向量线性相关，则拿掉f1，如果线性无关，则留在里面，扩充了一个，记f1=e_(r+1)再把f2放进去{e1,e2,,er,e_(r+1),f2}同上述过程一样。最终得到一组线性无关的向量{e1,e2,es}容易看出{f1,f2,,fn}能与{e1,e2,es}互相线性表示得出{e1,e2,es}的极大无关组个数为n又因为{e1,e2,es}线性无关，所以s=n所以{e1,e2,en}就是扩充后的一组基。
2、数系扩充的过程体现了数学的发展和创造的过程,也体现了数学发生、发展的客观需求.虽然学生知道自然数集、整数集、有理数集和实数集，了解它们之间的包含关系。